Die folgende Aussage findet sich in vielen Lehrbüchern zur Algebra als Aufgabenstellung zum Thema algebraische Körpererweiterungen. Einen Beweis findet man allerdings selten.

Beweis: Die eine Beweisrichtung ist nach Definition eines algebraischen Abschlusses offensichtlich trivial. Zur Rückrichtung: Wir zeigen zunächst, dass jedes Polynom mit Koeffizienten in $k$ über $K$ in Linearfaktoren zerfällt. Sei also $f\in <!--\; \in \; -->k[X]$ irreduzibel.

Fall 1: Ist $f$ separabel, so ist der Zerfällungskörper $L$ von $f$ nach dem Satz vom primitiven Element einfach über $k$, d.h. $L=k(a)$ für ein $a\in <!--\; \in \; -->L$. Das Minimalpolynom von $a$ über $k$ enthält in $K$ nach Voraussetzung eine Nullstelle, etwa $b\in <!--\; \in \; -->K$. Aufgrund der Normalität von $L$ folgt $L=k(a)=k(b)\subset <!--\; \subset \; -->K$. Also zerfällt $f$ über $K$ in Linearfaktoren.

Fall 2: Falls $f$ nicht separabel ist, gilt $char(k)=p>0$ und es gibt $g\in <!--\; \in \; -->k[X]$ mit $g$ separabel und $f(X)=g(X^q)$ für eine $p$-Potenz $q\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$. $g$ zerfällt nach Fall 1 über $K$ in Linearfaktoren und es gibt einen Zerfällungskörper $k(a)$ von $g$ über $k$ mit $a\in <!--\; \in \; -->K$. Ist $h$ das Minimalpolynom von $a$ über $k$, dann hat $h(X^q)$ nach Voraussetzung eine Nullstelle $b$ in $K$, also $k(a)=k(b^q)$. Für jede Nullstelle $c$ von $f$ in einem Zerfällungskörper von $f$ ist $c^q$ Nullstelle von $g$, also $c^q\in <!--\; \in \; -->k(b^q)$. Sei dementsprechend $G\in <!--\; \in \; -->k[X]$, sodass $c^q=G(b^q)$. Elemente aus $k$ haben nach Voraussetzung eine $q$-te Wurzel in $K$, insbesondere gibt es nach Eigenschaft des Frobeniushomomorphismus' ein Polynom $F\in <!--\; \in \; -->K[X]$ mit $G(b^q)=F(b{)}^q$. Da der Frobeniushomomorphismus als Morphismus von Körpern injektiv ist, folgt $c=F(b)\in <!--\; \in \; -->K$.

$k\subset <!--\; \subset \; -->K$ ist also eine normale Erweiterung. Aus der Voraussetzung folgt jetzt, dass jedes Polynom aus $k[X]$ über $K$ in Linearfaktoren zerfällt. Jedes $f\in <!--\; \in \; -->K[X]$ zerfällt dann aber auch schon über $K$ in Linearfaktoren mit folgender Überlegung: Ist $a$ eine Nullstelle von $f$ in einem Zerfällungskörper von $f$ über $K$, dann ist $a$ algebraisch über $k$ und das Minimalpolynom von $a$ in $k[X]$ zerfällt über $K$ in Linearfaktoren. Damit muss $a$ bereits in $K$ enthalten sein. Also zerfällt $f$ über $K$ in Linearfaktoren. $\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}$

Der Beweis kommt überraschenderweise mit verhältnismäßig einfachen Mitteln aus. Der Fall nicht separabler Polynome macht sogar den Eindruck, als biete er großes Kürzungspotenzial.

Das eigentlich Verblüffende an dem bewiesenen Satz ist, dass die gern zitierte iterative Konstruktionsmethode für einen algebraischen Abschluss nach Emil Artin tatsächlich schon nach einem Konstruktionsschritt abbricht.