Der polnische Mathematiker Tadeusz Ważewski veröffentlichte 1949 vier elegante Beweise für den berühmten Satz von L'Hospital, die die Notwendigkeit von Fallunterscheidungen in der Beweisführung stark reduzierten.^[1] Ich möchte an dieser Stelle den ersten dieser Beweise vorstellen, indem ich ihn frei ins Deutsche übertrage. ^[2]

Der Beweis basiert hauptsächlich auf dem folgenden

Beweis des Lemmas: Es gelte zunächst $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}|b_n|=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$. Sei $l_1$ so gewählt, dass $$\left|\frac{a_1}{b_{l_1}}\right|\le <!--\; \le \; -->\frac{1}{2}\text{ und }\left|\frac{b_1}{b_{l_1}}\right|\le <!--\; \le \; -->\frac{1}{2}.$$

Für $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$, $n\ge <!--\; \ge \; -->2$ wähle dann $l_n$ iterativ so, dass $$\left|\frac{a_n}{b_{l_n}}\right|\le <!--\; \le \; -->\frac{1}{2^n}\text{, }\left|\frac{b_n}{b_{l_n}}\right|\le <!--\; \le \; -->\frac{1}{2^n}\text{ und }{l}_n>l_{n-<!--\; -\; -->1}.$$ Mit $k_n:=n$ folgt die Behauptung. Im Falle $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{a}_n=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{b}_n=0$ erhält man die Aussage durch analoge Konstruktion zunächst von $(k_n)$ mit $l_n:=n$$\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}$

Beweis des Satzes: Angenommen, die Aussage sei falsch, dann gibt es eine Folge $(x_n)\subset <!--\; \subset \; -->I$ und $M\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\cup <!--\; \cup \; -->\{\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\}$ mit $$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n=c\text{ und }\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{f(x_n)}{g(x_n)}=M\ne <!--\; \ne \; -->L.$$ Insbesondere erfüllen $a_n:=f(x_n)$ und $b_n:=g(x_n)$ die Voraussetzungen des Lemmas, sodass für $(k_n)$ und $(l_n)$ wie im Lemma folgt: $$s_n:=\frac{a_{l_n}-<!--\; -\; -->a_{k_n}}{b_{l_n}-<!--\; -\; -->b_{k_n}}=(\frac{a_{l_n}}{b_{l_n}}-<!--\; -\; -->\frac{a_{k_n}}{b_{l_n}})\cdot <!--\; \cdot \; -->{(1-<!--\; -\; -->\frac{b_{k_n}}{b_{l_n}})}^{-<!--\; -\; -->1}\to <!--\; \to \; -->M\text{ für }n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}.$$ Andererseits existiert nach dem (verallgemeinerten) Mittelwertsatz für alle $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$ ein ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n$ zwischen $x_{k_n}$ und $x_{l_n}$ mit $$s_n=\frac{f(x_{l_n})-<!--\; -\; -->f(x_{k_n})}{g(x_{l_n})-<!--\; -\; -->g(x_{k_n})}=\frac{f\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n)}{g\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n)}\to <!--\; \to \; -->L\text{ für }n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}.$$ Ein Widerspruch zu $M\ne <!--\; \ne \; -->L$ und der Eindeutigkeit von Grenzwerten. $\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}$