Eine Funktion $u\in <!--\; \in \; -->C^2(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})$, wobei $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$ offen ist, heißt harmonisch, wenn sie die Laplace-Gleichung $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}u(x)=0$ für alle $x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ erfüllt. Solche Funktionen haben viele nützliche Eigenschaften: Sie sind unendlich oft differenzierbar (sogar analytisch), erfüllen eine Harnack-Ungleichung, ein starkes und ein schwaches Maximumprinzip und sie haben eine Liouville- sowie die folgende Mittelwerteigenschaft: Für alle $x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},r>0$ mit $B(x,r)\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ gilt $$\frac{1}{|B(x,r)|}{\int <!--\; \int \; -->}_{B(x,r)}u(y)\mathrm{d}y=u(x).$$ Besonders beeindruckend ist, dass diese Mittelwerteigenschaft sogar ein hinreichendes Kriterium dafür ist, ob eine Funktion $u\in <!--\; \in \; -->L_{loc}^1(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})$ harmonisch ist und damit all die oben aufgezählten Regularitätseigenschaften besitzt.

Ersetzt man die Integrabilitätsbedingung durch eine etwas stärkere Stetigkeitsbedingung, ist sogar eine schwächere Version der Mittelwerteigenschaft hinreichend: Eine Funktion $u\in <!--\; \in \; -->L_{loc}^1(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})$ erfüllt die lokale Mittelwerteigenschaft, wenn für alle $x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ eine Menge $K(x)\subset <!--\; \subset \; -->(0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$ mit Häufungspunkt bei $0$ existiert, sodass für alle $r\in <!--\; \in \; -->K(x)$
$$\frac{1}{|B(x,r)|}{\int <!--\; \int \; -->}_{B(x,r)}u(y)\mathrm{d}y=u(x).$$

Bemerkung: Die analoge Aussage gilt übrigens für subharmonische Funktionen, vgl. ^[1].

Beweis: Es seien $x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ und $r>0$ beliebig mit der Eigenschaft, dass $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B(x,r)}\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$. Sei weiterhin $v:\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B(x,r)}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$ die Lösung der Laplacegleichung in $B(x,r)$ mit Randdaten $u$ (hier wird die Stetigkeit von $u$ gebraucht). Setze $U=u-<!--\; -\; -->v$. Dann erfüllt $U$ die lokale Mittelwerteigenschaft in $B(x,r)$ und $U$ verschwindet auf $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}B(x,r)$. Wir sind also fertig, wenn wir zeigen können, dass $U$ konstant ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei das Maximum von $U$ nichtnegativ (sonst wende das folgende Argument auf $-<!--\; -\; -->U$ an). $S\subset <!--\; \subset \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B(x,r)}$ sei die Menge der Punkte, in denen $U$ sein Maximum annimmt. Weil $U$ stetig ist, ist $S$ abgeschlossen. Wir zeigen nun, dass $S$ offen ist und somit $U\equiv <!--\; \equiv \; -->0$ gilt. $U$ nehme sein Maximum also in $x_0$ an und $r_0\in <!--\; \in \; -->K(x_0)$ sei nach Definition der lokalen Mittelwerteigenschaft so gewählt, dass $B(x_0,r_0)\subset <!--\; \subset \; -->B(x,r)$. Dann gilt $$\frac{1}{|B(x_0,r_0)|}{\int <!--\; \int \; -->}_{B(x_0,r_0)}U(y)\mathrm{d}y=U(x_0)$$ und offensichtlich kann diese Gleichung nur gelten, wenn $U(y)=U(x_0)$ für alle $y\in <!--\; \in \; -->B(x_0,r_0)$ gilt, d.h. wenn $B(x_0,r_0)\subset <!--\; \subset \; -->S$. Also ist $S$ auch offen.$\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}$

Zuletzt sei noch ein Beispiel für eine Anwendung dieses Satzes genannt:

Setze ${\mathbb{R}}_{+}^n=\{x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n:x_n>0\}$ und definiere die symmetrische Fortsetzung $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}$ einer Funktion $u:\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{{\mathbb{R}}_{+}^n}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$ über Im Allgemeinen kann man für $u\in <!--\; \in \; -->C^2(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{{\mathbb{R}}_{+}^n})$ nur $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}\in <!--\; \in \; -->C^1({\mathbb{R}}^n)$ erwarten. Für harmonische Funktionen $u$ erfüllt $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}$ aber offensichtlich die oben definierte lokale Mittelwerteigenschaft und deswegen folgern wir aus obigem Satz das