tovotu

14. Februar 20130
Ważewskis Beweise des Satzes von L'Hospital
Gebiet:Analysis

Der polnische Mathematiker Tadeusz Ważewski veröffentlichte 1949 vier elegante Beweise für den berühmten Satz von L'Hospital, die die Notwendigkeit von Fallunterscheidungen in der Beweisführung stark reduzierten.[1] Ich möchte an dieser Stelle den ersten dieser Beweise vorstellen, indem ich ihn frei ins Deutsche übertrage. [2]

Satz von L'Hospital: Sei I ⊂ R ein offenes Intervall und c ∈ R ∪ { ± ∞ } eine der Grenzen von I . Seien außerdem f , g : I → R differenzierbar mit g ′ ( x ) ≠ 0 ≠ g ( x )     ∀ x ∈ I und lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) = L ∈ R ∪ { ± ∞ } . Wenn außerdem lim x → c f ( x ) = lim x → c g ( x ) = 0 oder lim x → c | g ( x ) | = ∞ , dann folgt lim x → c f ( x ) g ( x ) = L .

Der Beweis basiert hauptsächlich auf dem folgenden

Lemma: Seien ( a n ) und ( b n ) zwei Folgen reeller Zahlen mit b n ≠ 0   ∀ n ∈ N und entweder lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n = 0 oder lim n → ∞ | b n | = ∞ . Dann gibt es streng monotone Folgen natürlicher Zahlen ( k n ) und ( l n ) , sodass b k n ≠ b l n   ∀ n ∈ N und lim n → ∞ a k n b l n = lim n → ∞ b k n b l n = 0.

Beweis des Lemmas: Es gelte zunächst lim n → ∞ | b n | = ∞ . Sei l 1 so gewählt, dass | a 1 b l 1 | ≤ 1 2    und    | b 1 b l 1 | ≤ 1 2 .

Für n ∈ N , n ≥ 2 wähle dann l n iterativ so, dass | a n b l n | ≤ 1 2 n   ,    | b n b l n | ≤ 1 2 n    und    l n > l n − 1 . Mit k n := n folgt die Behauptung. Im Falle lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n = 0 erhält man die Aussage durch analoge Konstruktion zunächst von ( k n ) mit l n := n ◻

Beweis des Satzes: Angenommen, die Aussage sei falsch, dann gibt es eine Folge ( x n ) ⊂ I und M ∈ R ∪ { ± ∞ } mit lim n → ∞ x n = c  und  lim n → ∞ f ( x n ) g ( x n ) = M ≠ L . Insbesondere erfüllen a n := f ( x n ) und b n := g ( x n ) die Voraussetzungen des Lemmas, sodass für ( k n ) und ( l n ) wie im Lemma folgt: s n := a l n − a k n b l n − b k n = ( a l n b l n − a k n b l n ) ⋅ ( 1 − b k n b l n ) − 1 → M  für  n → ∞ . Andererseits existiert nach dem (verallgemeinerten) Mittelwertsatz für alle n ∈ N ein ξ n zwischen x k n und x l n mit s n = f ( x l n ) − f ( x k n ) g ( x l n ) − g ( x k n ) = f ′ ( ξ n ) g ′ ( ξ n ) → L  für  n → ∞ . Ein Widerspruch zu M ≠ L und der Eindeutigkeit von Grenzwerten. ◻

  1. Ważewski, T.. «Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations.» Prace Matematyczno-Fizyczne 47.1 (1949): 117-128.: eudml.org/doc/215634
  2. Es lohnt sich gewiss, auch die übrigen Beweise aus Ważewskis Veröffentlichung zu studieren, wenngleich sie momentan leider nur in französischer Sprache erhältlich sind. Sie fallen teilweise noch etwas eleganter aus, beziehen sich aber grundsätzlich immernoch auf das hier verwendete Lemma.