19. April 20120
Natürlichkeit und Eindeutigkeit der natürlichen Topologie auf dem Körper der reellen Zahlen

Gebiet:Topologie

Obwohl der Satz zunächst zu zeigen scheint, dass die natürliche Topologie bereits die eindeutige Topologie ist, unter der Multiplikation und Addition auf $\mathbb{R}$ stetig sind, ist doch schnell klar, dass sich die Bedeutung des Satzes darauf beschränkt, dass keine andere Topologie (abgesehen von der natürlichen Topologie selbst) bezüglich der Multiplikation "kompatibel" mit der natürlichen Topologie ist. Die Vermischung in Eigenschaft (ii) ist die wesentliche Forderung, wie bereits triviale Beispiele klarmachen.

Beweis: Die Abbildung $id:(\mathbb{R},\mathcal{T})\to <!--\; \to \; -->(\mathbb{R},\mathcal{S})$ ist stetig, da es eine Verkettung der (stetigen) Multiplikation (ii) und der ebenfalls stetigen Inklusion $i:(\mathbb{R},\mathcal{T})\to <!--\; \to \; -->(\mathbb{R},\mathcal{T})\times <!--\; \times \; -->(\mathbb{R},\mathcal{S}),x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(x,1)$ ist. Daraus folgt bereits $\mathcal{S}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathcal{T}$.

Für die andere Inklusion $\mathcal{T}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathcal{S}$ müssen wir etwas weiter ausholen. Aufgrund der Eigenschaften (i) und (ii) stellen wir fest, dass für $O\in <!--\; \in \; -->\mathcal{S}$ und $a,b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$ auch die gestreckte Menge $aO:=\{ao:o\in <!--\; \in \; -->O\}$ und die verschobene Menge $b+O:=\{b+o:o\in <!--\; \in \; -->O\}$ offen in $\mathcal{S}$ sind. Da die offenen Intervalle eine Basis der natürlichen Topologie bilden, reicht es, zu zeigen, dass es ein offenes Intervall in $\mathcal{S}$ gibt. Durch Verschiebung und Streckung ist dann jedes andere Intervall auch in $\mathcal{S}$ enthalten.

Durch Verschiebung der bezüglich $\mathcal{S}$ abgeschlossenen Menge $\{0\}$ erhalten wir die abgeschlossene Menge $\{1\}$, deren offenes Komplement $\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{1\}$ ein offenes Urbild unter der Multiplikation haben muss. Nach Definition der Produkttopologie ist dieses Urbild gegeben durch $\underset{i\in <!--\; \in \; -->I}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}{U}_i\times <!--\; \times \; -->V_i$ für offene Mengen $U_i\in <!--\; \in \; -->\mathcal{T}$ und $V_i\in <!--\; \in \; -->\mathcal{S}$.

Sei nun $j\in <!--\; \in \; -->I$ so, dass $(0,0)\in <!--\; \in \; -->U_j\times <!--\; \times \; -->V_j$. Ein solches $j$ muss existieren, da $(0,0)$ im Urbild von $\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{1\}$ liegt. Nach Definition offener Mengen in der natürlichen Topologie, gibt es ein $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$, sodass $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})\subseteq <!--\; \subseteq \; -->U_j$. Dementsprechend muss $(-<!--\; -\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1},{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1})\supset <!--\; \supset \; -->V_j$ gelten, weil bei der Multiplikation sonst die $1$ getroffen wird, die ja nicht im Bild liegt. Betrachte nun die Menge $$V:=\underset{a\in <!--\; \in \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}a{V}_j.$$ Da $V$ Vereinigung von Streckungen der offenen Menge $V_j$ ist, muss $V$ selbst schon offen in $\mathcal{S}$ sein. Umgekehrt lässt sich $V$ aber schreiben als $$V=\underset{b\in <!--\; \in \; -->V_j}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}(-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})b=\underset{b\in <!--\; \in \; -->V_j}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}(-<!--\; -\; -->|b|\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},|b|\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})=(-<!--\; -\; -->r,r)\subseteq <!--\; \subseteq \; -->(-<!--\; -\; -->1,1)$$ mit $r:=sup\{|b|\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}:b\in <!--\; \in \; -->V_j\}$ und ist damit selbst schon das gesuchte Intervall in $\mathcal{S}$. $\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}$