21. Mai 2012
Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung für Distributionen

Gebiet:Analysis

Für $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\in <!--\; \in \; -->C_c^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(\mathbb{R})$ und $f\in <!--\; \in \; -->L_{loc}^1(\mathbb{R})$ bezeichne ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_f(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}):={\int <!--\; \int \; -->}_{\mathbb{R}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)f(x)dx$ die von f erzeugte reguläre Distribution. Weiterhin sei $D{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_f(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}):=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_f({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\prime })$ die distributionelle Ableitung von ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_f$. Dann gilt der folgende

Zum Beweis betrachte zunächst das folgende

Beweis des Lemmas: Sei $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\in <!--\; \in \; -->C_c^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(\mathbb{R})$ beliebig und ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0\in <!--\; \in \; -->C_c^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(\mathbb{R})$ so, dass ${\int <!--\; \int \; -->}_{\mathbb{R}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0(t)dt=1$. Definiere $c={\int <!--\; \int \; -->}_{\mathbb{R}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)dt$. Dann ist ${\int <!--\; \int \; -->}_{\mathbb{R}}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->c{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0)(t)dt=0$.

Definiere weiterhin ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_c(x)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^x(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->c{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0)(t)dt$. Insbesondere ist dann ${{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_c}^{\prime }(x)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)-<!--\; -\; -->c{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0(x)$, somit ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_c\in <!--\; \in \; -->C_c^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(\mathbb{R})$ und ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_f(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->c{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0)=-<!--\; -\; -->D{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_f(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})=0$ nach Voraussetzung.

Es folgt mit $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}:={\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_f({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0)$ und der Linearität von Distributionen: ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_f(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})=c\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_f({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_{\mathbb{R}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}dx$ bzw. ${\int <!--\; \int \; -->}_{\mathbb{R}}(f-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}dx=0$ für alle $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\in <!--\; \in \; -->C_c^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(\mathbb{R})$. Das Fundamentallemma der Variationsrechnung besagt in diesem Fall $f=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ fast überall. $\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}$

Beweis des Satzes: Für $x_0\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$ definiere $G(x)={\int <!--\; \int \; -->}_{x_0}^{x}g(t)dt$. Dann ist $G^{\prime }(x)=g(x)$ fast überall, somit $D{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_G={\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_g$ und $D({\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_f-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_G)=D{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_{f-<!--\; -\; -->G}=0$. Mit dem Lemma folgt die Existenz eines $C\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$ mit $f(x)=C+G(x)$ für fast alle $x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$, was zu beweisen war. $\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}$

Mit der gleichen Argumentaion folgt eine analoge Aussage für beliebige Distributionen $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$ mit $D\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}={\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_g$. Das heißt: In diesem Fall stimmt $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$ bereits mit der von einer Stammfunktion $G$ von $g$ erzeugten regulären Distribution ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_G$ überein. Für diese allgemeinere Aussage wird das Fundamentallemma der Variationsrechnung nicht benötigt.