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15. Februar 2014, 10:18 Uhr
Verallgemeinerte Poincaré-Ungleichung
Gebiet:Analysis

In der Schauder-Theorie für elliptische partielle Differentialgleichungen, bei der man die Regularität von Lösungen in Campanato-Räumen nachweist, spielt die Poincaré-Ungleichung für verschwindende Mittelwerte eine große Rolle. Oft benötigt man außerdem ähnlich geartete, aber scheinbar etwas stärkere Aussagen. Der folgende Satz verallgemeinert die Poincaré-Ungleichung und eröffnet dabei eine andere Perspektive auf diese Abschätzung, ohne dass der Beweis große Verrenkungen erfordern würde.

Eine Teilmenge K eines R -Vektorraums V nennen wir Kegel, wenn für alle v K und t [ 0 , ) auch t v K gilt. Für Ω R n messbar bezeichnen wir im Nachfolgenden mit W k , p ( Ω ) den Sobolev-Raum der k -mal schwach differenzierbaren Funktionen, deren l -te partielle Ableitungen für 0 l k in L p ( Ω ) liegen.

Satz: Es sei 1 p , Ω R n offen, beschränkt und Lipschitz-berandet und K W 1 , p ( Ω ) ein abgeschlossener Kegel mit der Eigenschaft u K ,   u = 0 u = 0. Dann gibt es C R , sodass für alle u K die folgende Abschätzung gilt: u L p ( Ω ) C u L p ( Ω ) .

Beweis: Wie die klassische Poincaré-Ungleichung beweist man auch diese Aussage durch Widerspruch: Falls die behauptete Ungleichung nicht gilt, gibt es für alle k N ein u k K mit u k L p ( Ω ) k u k . Durch Normierung (hier benötigen wir, dass K ein Kegel ist) können wir erreichen, dass u k L p ( Ω ) = 1 und u k L p ( Ω ) 1 / k für alle k . Nach der kompakten Sobolev-Einbettung W 1 , p L p (bekannt als Satz von Rellich oder Rellich-Kondrachov) hat diese beschränkte Folge nun eine in L p ( Ω ) konvergente Teilfolge u k j . Außerdem konvergiert: u k j bereits nach Konstruktion in L p ( Ω ) gegen 0 . Damit ist u k j eine Cauchy-Folge in W 1 , p ( Ω ) , die aufgrund der Vollständigkeit der Sobolev-Räume auch konvergiert: u k j u  in  W 1 , p ( Ω ) . Aufgrund der Eindeutigkeit von L p -Grenzwerten folgt u = 0 . Weil aber K abgeschlossen war, ist auch u K und somit nach Voraussetzung u = 0 , im Widerspruch zu u L p = lim j u k j L p = 1 .

Wie aus dem Beweis sofort hervorgeht, benötigen wir die Regularität von Ω ausschließlich für den Satz von Rellich. Die Aussage bleibt demnach für offene und beschränkte Mengen wahr, wenn wir überall W 1 , p ( Ω ) durch W 0 1 , p ( Ω ) , also den Abschluss der kompakt getragenen und glatten Funktionen, ersetzen. Der Satz impliziert sofort die bekannten Poincaré-Ungleichungen:

Korollar 1: Es sei 1 p , Ω R n offen, beschränkt und Lipschitz-berandet. Bezeichne das Mittelwertintegral von u L p mit u Ω = 1 | Ω | Ω u ( x ) d x . Dann gibt es C R , sodass für alle u W 1 , p ( Ω ) die folgende Abschätzung gilt: u u Ω L p ( Ω ) C u L p ( Ω ) .

Korollar 2: Es sei 1 p , Ω R n offen und beschränkt. Dann gibt es C R , sodass für alle u W 0 1 , p ( Ω ) die folgende Abschätzung gilt: u L p ( Ω ) C u L p ( Ω ) .

Mit den üblichen Skalierungsargumenten können wir auch nähere Aussagen über die Konstante C (etwa auf Bällen oder Würfeln von gegebenem Radius) machen. Die Stärke der verallgemeinerten Poincaré-Ungleichung zeigt sich etwa auf zusammenhängenden Gebieten, wo wir das Mittelwertintegral in Korollar 1 trivialerweise durch das Mittelwertintegral über eine beliebige offene Teilmenge ersetzen können. Außerdem lässt sich die Aussage auch für höhere Ableitungen iterieren, wenn die Menge bestimmten Symmetrien unterliegt, also zum Beispiel ein Ball ist. Dann betrachten wir statt u u Ω Ausdrücke der Form u u Ω ( u ) Ω x . Dabei ist zu beachten, dass der dritte Term bei der Integration über einen bei 0 zentrierten Ball verschwindet.

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