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5. November 2014, 21:50 Uhr
Lokale Mittelwerteigenschaft und harmonische Funktionen
Gebiet:Analysis

Eine Funktion u C 2 ( Ω ) , wobei Ω R n offen ist, heißt harmonisch, wenn sie die Laplace-Gleichung Δ u ( x ) = 0 für alle x Ω erfüllt. Solche Funktionen haben viele nützliche Eigenschaften: Sie sind unendlich oft differenzierbar (sogar analytisch), erfüllen eine Harnack-Ungleichung, ein starkes und ein schwaches Maximumprinzip und sie haben eine Liouville- sowie die folgende Mittelwerteigenschaft: Für alle x Ω , r > 0 mit B ( x , r ) Ω gilt 1 | B ( x , r ) | B ( x , r ) u ( y ) d y = u ( x ) . Besonders beeindruckend ist, dass diese Mittelwerteigenschaft sogar ein hinreichendes Kriterium dafür ist, ob eine Funktion u L l o c 1 ( Ω ) harmonisch ist und damit all die oben aufgezählten Regularitätseigenschaften besitzt.

Ersetzt man die Integrabilitätsbedingung durch eine etwas stärkere Stetigkeitsbedingung, ist sogar eine schwächere Version der Mittelwerteigenschaft hinreichend: Eine Funktion u L l o c 1 ( Ω ) erfüllt die lokale Mittelwerteigenschaft, wenn für alle x Ω eine Menge K ( x ) ( 0 , ) mit Häufungspunkt bei 0 existiert, sodass für alle r K ( x )
1 | B ( x , r ) | B ( x , r ) u ( y ) d y = u ( x ) .

Satz: Falls u C 0 ( Ω ) die lokale Mittelwerteigenschaft erfüllt, ist u harmonisch.

Bemerkung: Die analoge Aussage gilt übrigens für subharmonische Funktionen, vgl. [1].

Beweis: Es seien x Ω und r > 0 beliebig mit der Eigenschaft, dass B ( x , r ) ¯ Ω . Sei weiterhin v : B ( x , r ) ¯ R die Lösung der Laplacegleichung in B ( x , r ) mit Randdaten u (hier wird die Stetigkeit von u gebraucht). Setze U = u v . Dann erfüllt U die lokale Mittelwerteigenschaft in B ( x , r ) und U verschwindet auf B ( x , r ) . Wir sind also fertig, wenn wir zeigen können, dass U konstant ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei das Maximum von U nichtnegativ (sonst wende das folgende Argument auf U an). S B ( x , r ) ¯ sei die Menge der Punkte, in denen U sein Maximum annimmt. Weil U stetig ist, ist S abgeschlossen. Wir zeigen nun, dass S offen ist und somit U 0 gilt. U nehme sein Maximum also in x 0 an und r 0 K ( x 0 ) sei nach Definition der lokalen Mittelwerteigenschaft so gewählt, dass B ( x 0 , r 0 ) B ( x , r ) . Dann gilt 1 | B ( x 0 , r 0 ) | B ( x 0 , r 0 ) U ( y ) d y = U ( x 0 ) und offensichtlich kann diese Gleichung nur gelten, wenn U ( y ) = U ( x 0 ) für alle y B ( x 0 , r 0 ) gilt, d.h. wenn B ( x 0 , r 0 ) S . Also ist S auch offen.

Zuletzt sei noch ein Beispiel für eine Anwendung dieses Satzes genannt:

Setze R + n = { x R n : x n > 0 } und definiere die symmetrische Fortsetzung u ¯ einer Funktion u : R + n ¯ R über u ¯ ( x ) = { u ( x ) falls  x n 0 , u ( x , x n ) sonst. Im Allgemeinen kann man für u C 2 ( R + n ¯ ) nur u ¯ C 1 ( R n ) erwarten. Für harmonische Funktionen u erfüllt u ¯ aber offensichtlich die oben definierte lokale Mittelwerteigenschaft und deswegen folgern wir aus obigem Satz das

Korollar: Falls u C 2 ( R + n ¯ ) harmonisch ist, dann ist die symmetrische Fortsetzung u ¯ von u harmonisch in R n , also insbesondere u ¯ C ( R n ) .

  1. math.stackexchange....subharmonic-functions

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